運動量の保存

テストを開始するには [テスト開始] ボタンを押してください。

問題

動く板の上での物体の運動

下の図のように、質量mの小物体が質量Mの大きな板の上にのっている。小物体と板との間の動摩擦係数をμとし、板と床との間の摩擦を無視する。時刻t = 0において、小物体に右向きの初速度v₀を与えると、板も同時に動き始めた。右向きを正の向きとし、重力加速度の大きさをgとする。

　　　　　　　　　　　

小物体に初速度を与えてから、小物体が板に対して静止するまでの時間tを求めよ。

小物体と板の速度が同じになったときの板の速さをVとおくと、

運動量保存則より
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
mv₀ = ( M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 + M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 )V　　

		mv0
だから	V =	――――
		M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3

　　　　　　　　　　　

小物体が板と速さが同調するときまでに、小物体が板から受ける
動摩擦力の大きさは、

F = M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 = M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3

小物体の M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 の変化量＝小物体が受けた M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 　より

M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 V - M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 v₀ = - M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3

この式にVとＦの値を代入して、

	mv0
M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3	(――――)	-	M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 v0	=	- μ	M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 g・t
	M + m

m M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 v0 - m( M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 )v0
―――――――――――――	=	- μmgt
M + m

- M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 v0
――――――――――	=	- μ M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 gt
M + m

	M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 v0
t =	―――――――――――――――
	M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 (M + m)

	M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 v0
=	――――――――――――
	M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 ( M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3 ) M m M + m μ N g 運動量 力積 F t 2 1 3

お疲れ様でした。「採点」ボタンを押して採点してください。

結果: