力のモーメントのつり合い

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問題

図のように張力T，重力Mg，壁木が上に押す力F，壁から垂直抗力Nがかかっている棚板がある．ひもと棚板のなす角をθとする．

張力Tの鉛直成分はT sinθ cosθ tanθ ，水平成分はT sinθ cosθ tanθ と表せる．

この図では，鉛直方向の 力のモーメント 力 のつり合い，水平方向の 力のモーメント 力 のつり合い，壁木Aを中心とする 力のモーメント 力 のつり合いの３つの式を立てることができる．

力のモーメントは，点Aからの 力 垂直 距離 水平 プラス マイナス 時計 反時計 回転 バランス ×棚板に対して 力 垂直 距離 水平 プラス マイナス 時計 反時計 回転 バランス 方向の 力 垂直 距離 水平 プラス マイナス 時計 反時計 回転 バランス 　で表せる．

基本は反時計回りの力を 力 垂直 距離 水平 プラス マイナス 時計 反時計 回転 バランス ，時計回りの力を 力 垂直 距離 水平 プラス マイナス 時計 反時計 回転 バランス で表す．

重力Mgの場合，点Aからすると 力 垂直 距離 水平 プラス マイナス 時計 反時計 回転 バランス 回りなので 力 垂直 距離 水平 プラス マイナス 時計 反時計 回転 バランス ，張力Tの鉛直成分はTsinθで 力 垂直 距離 水平 プラス マイナス 時計 反時計 回転 バランス 回りなので 力 垂直 距離 水平 プラス マイナス 時計 反時計 回転 バランス となる．

棚板は点Aを中心にどちらかに回転しうるが，ちょうど 力 垂直 距離 水平 プラス マイナス 時計 反時計 回転 バランス が取れて 力 垂直 距離 水平 プラス マイナス 時計 反時計 回転 バランス しない時，力のモーメントのつり合いが取れていると言える．

力のモーメントのつり合いにより


ℓ×（ ＋ － Tsinθ Tcosθ Mg ＋ － Tsinθ Tcosθ Mg ）＋２ℓ× ＋ － Tsinθ Tcosθ Mg ＝０　　　・・・①

これは下図のようなてんびんがつり合っているのと同じである．



あとは，力のつり合いにより

鉛直方向では　　　F＋ ＋ － Tsinθ Tcosθ Mg ＝Mg　　　・・・②

水平方向では　　　N＝ ＋ － Tsinθ Tcosθ Mg 　　　　　・・・③

となる．

①式より　　 ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ Mg＝ ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ Tsinθ

　　　　　　　Mg＝ ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ Tsinθ　　　　・・・①’

	ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ
T＝	—————————————	・・・④と表せる．
	ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ

張力Tは未知数であるが，棚板の重力やなす角θは
測定しやすいので，これにより張力Tが求まる．

また同様にして③，④より

	ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ cosθ		Mg
N＝Tcosθ＝	—————————————	＝	——————————	・・・⑤
	ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ		２ ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ

と垂直抗力も求まる．


最後はFを求める．

②よりF＝Mg ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ Tsinθ

①’より　

	ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ
Tsinθ＝	————————	ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ
	ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ

　　



だから

	ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ			ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ
F＝Mg－	————————	ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ	＝	————————	ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ
	ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ			ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ

ということはF＝ ℓ ２ℓ １ ２ Mg sinθ cosθ tanθ ＋ － Tsinθ Tcosθ Ttanθ である．

以上，力のつり合いはその場所に物体が モーメント 回転 静止 しながら せずに できる状況を表し，

力のモーメントのつり合いは，物体が モーメント 回転 静止 しながら せずに モーメント 回転 静止 しながら せずに その場所に

静止できる状況を表している．

橋脚など，多くの人が利用する構造物では台風などで倒れない設計が重要である．
そういう時に力のつり合いだけでなく，力の モーメント 回転 静止 しながら せずに のつり合いが重要に
なってくる．

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