運動量保存則とはね返り係数

問題

物体Aの質量ｍ１，速度ｖ１とする．物体Ｂの質量ｍ２，速度ｖ２として

物体Ａが物体Ｂに衝突したとき，物体Ａの速度はｖ１’，物体Ｂの速度はｖ２’となった．



このとき，物体Ｂには

力積Ｆ⊿ｔ＝ ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ （ｖ２’－ｖ２）が

物体Ａには作用反作用の法則から

力積 ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ Ｆ⊿ｔ＝ ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ （ｖ１’－ｖ１）がかかる．


これをＦ⊿ｔ＝ｍ２（ ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ －ｖ２）＝－ｍ１（ ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ －ｖ１）とすると


ｍ２ ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ ＋ｍ１ ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ ＝ ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ ｖ２＋ ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ ｖ１となる．



これを運動量保存則と呼ぶ．


整理すると

ｍ１ ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ ＋ ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ ｖ２＝ｍ１ ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ ＋ｍ２ ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ


これは，衝突前の２つの物体の運動量の和が，

衝突後の２つの物体の運動量の和と ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ であることを示している．





はね返り係数

物体が床と衝突する場合

衝突前の速度をｖ，衝突後の速度をｖ’とすると

	＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ
ｅ＝	————
	＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ

ｅは，はね返り係数と呼ぶ．



２物体の衝突の場合

衝突前の物体Aの速度がｖ１，物体Ｂの速度がｖ２，

衝突後の物体Ａの速度がｖ１’，物体Ｂの速度がｖ２’とすると

	＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ －ｖ１’
ｅ＝ ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ	——————————
	ｖ２－ ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ

こちらの公式は，相対速度で比を作っている．

最初にマイナスが ＋ － ｍ１ ｍ２ ｖ１ ｖ２ ｖ１’ ｖ２’ ｖ ｖ’ つく 同じ ところを忘れないように．

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