二次関数と直線

問題

二次関数ｙ＝ｘ^２と直線ｙ＝ｘ＋２が２点で交わっている．この交点を求めるには，連立方程式と同じようにして，ｙ＝ｘ＋２を代入する．


ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 ＋ ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 ＝ ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 ^２となる．


これを二次方程式として解くと

ｘ^２ ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 ｘ ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 ２＝０

(ｘ ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 ２)(ｘ ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 １)＝０

ｘ＝ ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 １， ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 ２


これは交点のｘ座標が ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 １と ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 ２であることを意味する．



ｘ＝−１をｙ＝ｘ^２に代入すると

ｙ＝(−１)^２＝ ｘ ＋ − １ ２ ４ 解


ｘ＝−１をｙ＝ｘ＋２に代入してみると

ｙ＝− ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 ＋２＝ ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 で一致する．

よって交点は(− ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 ，＋ ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 )




また，ｘ＝２をｙ＝ｘ^２に代入すると

ｙ＝ ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 ^２＝ ｘ ＋ − １ ２ ４ 解


ｘ＝２をｙ＝ｘ＋２に代入してみると

ｙ＝ ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 ＋２＝ ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 でこれも一致する．


よってもう一つの交点は
( ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 ， ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 )



一次関数で２直線の交点が連立方程式の解であったように，

二次関数も直線との交点は，２つの連立方程式の ｘ ＋ − １ ２ ４ 解 となる．



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