東大２０２６文系数学第１問改

問題

ｋ＞０とする．放物線Ｃ：ｙ＝－ｋ（ｘ－α）（ｘ－β）がある．

α＜βとする．

この放物線の頂点は（－２，１）である．

放物線Ｃがｙ軸と交わる点のｙ座標は－３≦ｙ≦０である．

放物線Ｃがｘ軸と交わってできる図形の面積をＳとする．

面積Ｓのとりうる範囲を求めよ．





解答：

頂点が（－２，１）より

放物線Ｃは

ｙ＝－ｋ（ｘ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ２）^２＋ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ とも表せる．

ｙ＝－ｋｘ^２ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ４ｋｘ－４ｋ＋ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９

これが

ｙ＝－ｋ（ｘ－α）（ｘ－β）

＝－ｋｘ^２＋ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ （α＋β）ｘ－ｋ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ βと一致するので

－ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ｋ＝ｋ（α＋ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ）・・・①

－４ｋ＋ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ＝－ｋ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ β・・・②

①よりα＋β＝－ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ・・・①’

		１
	αβ＝４ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９	————	・・・②’
		ｋ

面積Ｓのとりうる範囲を考える．

	∫	β
Ｓ＝			－ｋ（ｘ－α）（ｘ－β）ｄｘ
		α

　　　

		＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ （β－α）３
	＝	——————————————
		＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９

　


（β－α）^２＝（α＋β）^２－ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ αβ

		４		＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
	＝ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ －１６＋	————	＝	————
		ｋ		＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９

　　　　　　　　

		ｋ		４		＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
	Ｓ＝	————	・	————	・	————
		６		＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９		√ｋ

		＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
	＝	————————
		＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ √ｋ

　　　

　　

Ｃがｙ軸と交わる点のｙ座標について考える．

Ｃの式をｙ＝ｆ（ｘ）とおくと

－ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ≦ｆ（ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ）＝－４ｋ＋ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ≦０


４ｋ≦１＋ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ＝ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９

ｋ≦ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９


＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ≦４ｋ

		＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
	ｋ≧	——————
		４

　　　

＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
——————	≦ｋ≦ ＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
４

　



よって

＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９		＋ － ｋ α β ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
————	≦Ｓ≦	————
３		３

　　　　


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