不定方程式

問題

次の方程式の整数解をすべて求めよ。

4x – 7y = 2



4x – 7y = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 を利用する。

7 = 4・ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 → 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 = 7 – 4・ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 　・・・①

4 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 ・1 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 → 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 = 4 – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 ・1　・・・②

②に①を代入

1 = 4 – ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 ・1)・1

= 4 – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 ・1

= 4・ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素

4・ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 – 7・ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 = 1




1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 倍して　4・ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 – 7・ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素

(x, y) = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 )が一つの解である。


　　　 4・ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 – 7・ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素

– ) 　　4・ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 – 7・ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素
――――――――――――――――
4( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 ) – 7( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 ) = 0



　　4( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 ) = 7( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 )



4, 7 は、互いに 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 より

x – 4 = 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 , y – 2 = 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 とすると


4・7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 = 7・4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 で等式が成り立つ。


よって x = 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 、y = 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x y k 素 　( k は整数 )

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