対称式

問題

文字を入れ替えても，元と変わらない式を， 交換 対称 基本対称 基本交換 式という．

対称式は，基本となる式， 交換 対称 基本対称 基本交換 式があり，

すべての対称式は， 交換 対称 基本対称 基本交換 式を使って表すことができる．



基本対称式：

α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ＋ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ， α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９



対称式：


α^２＋β^２＝（α＋β）^２− α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ αβ


（α−β）^２＝（α＋β）^２− α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ αβ


3次式も，α^２＋β^２の値をあてはめて，解くことができる．

α^３＋β^３＝（α＋β）（α^２ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ αβ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ β^２）



ｘ^２−３ｘ＋２＝０

の解をα，βとすると，



解と係数の関係から，

α＋β＝ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ，αβ＝ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９



α^２＋β^２＝（α＋β）^２−２αβ

＝ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ^２−２・ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ＝ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ − α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ＝ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９



（α−β）^２＝（α＋β）^２− α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ αβ

＝ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ^２−４・ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ＝ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ − α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ＝ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９



α^３＋β^３＝（α＋β）（α^２ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ αβ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ β^２）

＝ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ・（ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ − α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ）＝ α β ＋ − ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９

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