ｘ軸との交点の問題，２つとも正の位置で交わる

問題． ｘ^２−２ｋｘ＋３ｋ＝０が２つとも正の実数解をもつ条件を求めよ．

ｙ＝ｘ^２−２ｋｘ＋３ｋがｘ軸と正の位置で２点とも交わるときを考える．

１つ目の条件は，ｘ軸と２点で交わるから



ｘ^２−２ｋｘ＋３ｋ＝０の方程式が２つの異なる実数解をもつので

判別式Ｄ/４＝ ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３ ^２− ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３ ・ ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３ ・３ｋ＞０・・・�@

これは，ｘ軸は，ｙ＝０という式で表されるのでｙに ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３ を代入して交点のｘ座標を求めていると考えれば，分かりやすい．

２つ目の条件は，軸の位置が正になる．



平方完成すると，ｙ＝(ｘ− ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３ )^２− ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３ ^２＋３ｋとなるので

軸はｘ＝ ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３

軸ｘ＝ ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３ ＞０・・・�A

３つ目の条件は，ｆ(ｘ)＝ｘ^２−２ｋｘ＋３ｋとすると

ｆ( ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３ )＞０・・・�B

これは，原点より上の位置でｙ軸と交わるという条件である．



これら３つの条件が全て成り立った状態がｘ軸と正の位置で２点とも交わる条件となる．

結構，複雑ですね．

�Bよりｆ(０)＝ ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３ ^２−２ｋ・ ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３ ＋３ｋ＝３ ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３ ＞０

ｋ ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３ ０・・・�B’

�@よりｋ(ｋ− ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３ )＞０

ｋ＜ ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３ ，ｋ＞ ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３ ・・・�@’




よって�@’，�A，�B’より

ｋ＞ ｋ ＜ ＞ ０ １ ２ ３

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