対偶証明法

命題ｐ⇒ｑを証明するとき，そのままでは証明できないが， 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ を取ると証明しやすくなることがある．こういう時は， 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ を証明して，もとの 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ も正しいとする．

ちなみに，命題が正しいとき， 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ は正しい．

逆が正しいとき，その対偶である 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ も正しい．



問題１．ｘ＋ｙ＜７ならば，ｘ＜３またはｙ＜４



この命題が正しいことを証明せよ．

対偶は，

ｘ 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ ３ 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ ｙ 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ ４ならば，ｘ＋ｙ 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ ７

不等式は同じ方向を不等号が向いているとき，足すことができる．

			ｘ≧３
＋）			ｙ≧４
――――――――――
	ｘ 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ ｙ≧ 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴

よって対偶は 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ である．

すなわち元の 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ も真である．//


証明を終わるときは， 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ のマークか，Q.E.D.をつける．

だから： 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴

すなわち： 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴

こういう数学記号も使ってよい．



問題２．ｘ−ｙ＜８ならば，ｘ＜３またはｙ＞−５

この命題が正しいことを証明せよ．



対偶は，

ｘ 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ ３ 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ ｙ 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ −５ならば，ｘ−ｙ 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ ８

今回は，ｙ≦−５を変形して 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ ｙ 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ ５とする．

不等式の和は，

			ｘ 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ ３
＋）		命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴	ｙ 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ ５
―――――――――――
		ｘ−ｙ 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ ８

よって対偶が 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ であるので

元の 命題 逆 裏 対偶 ≦ ≧ かつ または ＋ − １ ７ 真 偽 // ∵ ∴ も真である．//

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