背理法

問題

	７	が無理数であることの証明．

有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ 法で証明する．

有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ 法は，命題が間違っていると 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ して，

その 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ を証明する手法である．

	７	が 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ 数だと 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ すると既約分数で表されるので

			ｎ
	７	＝	―――	と表される．（ｍ，ｎは互いに素，自然数）
			有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９

互いに素とは，同じ 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ を持っていない．

ここでは 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ できないことを意味する．

既約分数は， 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ したあとの分数を表しているので

	ｎ
もし	―――	が 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ できたら 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ していることになる．
	ｍ

まず２乗すると

	ｎ２
有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ ＝	――――
	ｍ２

有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ ｍ^２＝ｎ^２　　　ｎ^２は 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ の倍数である．

この時， 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ も７の倍数である．


（ｎ^２がａの倍数であるとき， 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ がａの倍数であることはここでは証明しないが，数学の教科書に載っているので使えることとする．）


ｎ＝７ 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ とおける．（ｋは自然数）

７ｍ^２＝（７ｋ）^２＝ 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ ｋ^２

ｍ^２＝ 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ ｋ^２

これによりｍ^２も 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ の倍数である．

有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ も７の倍数になるので


ｍとｎが互いに素であることに反し，

有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ で約分できることになる．

よって		７	が 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ 数であることに 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ するので

	７	は 有理 無理 背理 仮定 矛盾 約数 約分 ｋ ｍ ｎ ４ ７ ９ 数である．//

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