素因数の数

問題

１〜２００までの数の積＝２００！＝１・２・３・・・・２００について

３が素因数としていくつ含まれているか，求めよ．



３^１＝３

３^２＝９

３^３＝２７

３^４＝８１

３^５＝２４３より

１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ までが含まれている．



２００÷８１＝ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ ・・・３８

８１の倍数が １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ つあることがわかる．


２００÷２７＝ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ ・・・１１

２７の倍数が １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ つあることがわかる．


２００÷９＝ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ ・・・２

９の倍数が １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ こあることがわかる．


２００÷３＝ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ ・・・２

３の倍数が １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ こあることがわかる．










（３・３^３なんかは３^４と同じなので重複があります．）



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上のイメージ図から考えると



３で割った６６こが １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ 段目の３の数，

９で割った２２こが １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ 段目の３の数，

２７で割った７つが １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ 段目の３の数，

８１で割った２つが １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ 段目の３の数と考えると

これらを足し合わせると３の素因数の数が出てくる．


よって

２＋ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ ＋２２＋ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０


＝ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ ＋ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ ＝ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ こ

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