文字係数を含む２次関数の最大・最小

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y = x² – 2ax + a　(0≦x≦2)　の最大値・最小値


平方完成して

y = (x² – 2ax) + a

y = {(x – a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min )² – a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min ²} + a

y = (x – a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min )² – a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min ² + a

軸はx = a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min

頂点は、( a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min , – a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min ² + a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min )


場合分けは、

[1} 定義域の左端の0より関数の軸が左にあるか、：



軸x = a < a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min


[2] 定義域の左端の0から真ん中の1までに関数の軸があるか、：



a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min 軸x = a a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min


[3] 定義域の真ん中の1に関数の軸があるか、：



軸x = a = a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min


[4] 定義域の真ん中の1から右端の2までに関数の軸があるか、：



a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min 軸x = a a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min


[5] 定義域の右端の2から関数の軸が右にあるか、：



軸x = a a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min


で行う。




場合分けは、互いに重ならないように不等式を用意する。

悪い例：[1] a≦0、[2] 0 ≦ a < 1のように0が重なっているとき。


また、一般に（以上）のときに、＝をつける。0≦a、1≦aのように。




最大値、最小値に用いる値は、次の３つを用いる。

定義域の両端の、

x = 0 のとき　y = a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min

x = 2 のとき　y = 4 – 4a + a = a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min – a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min

頂点：x = a のとき　y = – a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min ² + a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min

数学用語で、最大値は a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min 、最小値は a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min と表す。




[1] a < 0のとき、



x = a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min のとき、max：　 a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min

x = a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min のとき、min：　 a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min


[2] 0≦a<1 のとき、



x = a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min のとき、max：　 a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min

x = a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min のとき、min：　– a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min ² + a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min


[3] a = 1のとき、



x = a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min , a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min のとき、max：　 a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min

x = a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min のとき、min：　 a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min


[4] 1<a<2 のとき、



x = a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min のとき、max：　 a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min

x = a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min のとき、min：　– a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min ² + a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min


[5] a≧2のとき、



x = a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min のとき、max：　 a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min

x = a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min のとき、min：　 a 3a 4 – 3a 0≦ <1 1< <2 ≧2 0 1 2 4 max min

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結果: