定義域の一端が動く２次関数の最大・最小

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y = x² – 4x + 3　(0≦x≦a)　の最大値・最小値

a a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< とする。


平方完成して

y = (x² – 4x) + 3

y = {(x – a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< )² – a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< ²} + 3

y = (x – a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< )² – a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< + 3

y = (x – a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< )² – a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4<

軸はx = a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4<

頂点は、( a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< , – a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< )




場合分けは、

１．定義域の右端のaが関数の軸より左にあるか、：


軸x = a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< a a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4<

２．定義域の右端のaが、原点から関数の軸の距離の２倍の位置の a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< より左にあるか、：


軸x = a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< a a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4<

３．定義域の右端のaが、原点から関数の軸の距離の２倍の位置の a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< の位置にあるか、：


a = a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4<

４．定義域の右端のaが、原点から関数の軸の距離の２倍の位置の a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< より右にあるか、：


a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< a

で行う。





最大値、最小値に用いる値は、次の３つを用いる。

定義域の両端の、

x = 0 のとき　y = a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4<

x = a のとき　y = a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< ² – 4 a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< + 3

頂点：x = 2 のとき　y = – a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4<




[1] 0 < a < 2のとき、



x = a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< のとき、max：　 a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4<

x = a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< のとき、min：　 a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< ² – 4 a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< + 3



[2] 2 ≦ a < 4 のとき、



x = a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< のとき、max：　 a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4<

x = a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< のとき、min：　– a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4<



[3] a = 4のとき、



x = a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< , a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< のとき、max：　 a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4<

x = a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< のとき、min：　– a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4<



[4] 4 < a のとき、



x = a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< のとき、max：　 a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< ² – 4 a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< + 3

x = a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4< のとき、min：　– a 0 1 2 3 4 >0 2> 2≦ <4 4<

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結果: