一定の幅の定義域が動く
２次関数の最大・最小

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y = 2x² – 8x + 6　( a – 1 ≦ x ≦ a + 1 )　の最大値・最小値


平方完成して

y = 2(x² – 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ x) + 6

y = 2{(x – 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ )² – 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ²} + 6

y = 2(x – 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ )² – 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ + 6

y = 2(x – 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ )² – 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵

軸はx = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵

頂点は、( 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ , – 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ )




場合分けは、

１．関数の軸が定義域の右端の 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ より右にあるか、：

軸x = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ≧ 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵


２．関数の軸が定義域の真ん中の 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ から右端の 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ までにあるか、：

0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ <軸x = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ < 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵


３．定義域の真ん中の 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ が関数の軸上にあるか、：

軸x = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵


４．定義域の左端の 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ から真ん中の 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ までに関数の軸があるか、：

0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ < 軸x = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ < 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵


５．関数の軸が、定義域の左端の 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ より左にあるか、：

軸x = 2 ≦ 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵


で行う。


最大値、最小値に用いる値は、次の３つを用いる。

定義域の両端の、

x = a – 1 のとき　

y = 2( 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ )² – 8( 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ) + 6

= 2( 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ² – 2 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ + 1) – 8 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ + 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ + 6

= 2 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ² – 4 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ + 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ – 8 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ + 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵

= 2 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ² – 12 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ + 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵



x = a + 1 のとき　

y = 2( 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ )² – 8( 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ) + 6

= 2( 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ² + 2 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ + 1) – 8 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ – 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ + 6

= 2 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ² + 4 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ + 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ – 8 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ – 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵

= 2 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ² – 4 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵



頂点：x = 2 のとき　

y = 2・ 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ² – 8・ 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ + 6

= 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ – 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ + 6

= – 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵



数学記号で、だからは 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ 、すなわちは 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ と表す。



[1] a + 1 ≦ 2、∵ a ≦ 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ のとき、



x = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ のとき、max：　2 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ² – 12 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ + 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵

x = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ のとき、min：　2 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ² – 4 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵



[2] 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ < 2 < 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ 、∵ 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ < a < 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ のとき、



x = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ のとき、max：　2 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ² – 12 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ + 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵

x = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ のとき、min：　– 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵



[3] 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ = 2のとき、



x = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ , 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ のとき、max：　 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵

x = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ のとき、min：　– 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵



[4] 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ <2< 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ∵ 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ < a < 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ のとき、



x = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ のとき、max：　2 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ² – 4 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵

x = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ のとき、min：　– 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵



[5] 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ≧2 ∵ a ≧ 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ のとき、



x = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ のとき、max：　2 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ² – 4 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵

x = 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ のとき、max：　2 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ ² – 12 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵ + 0 1 2 3 4 8 14 16 a – 1 a a + 1 ∴ ∵

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結果: