数列

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問題 1.

次の公式を完成させなさい。

等差数列

a： 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2 、d： 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2

a_n： 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2

S_n： 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2

a_n = 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2 + ( 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2 ) 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2

Sn =
初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2 ――――――― 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2	初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2	{	初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2	( 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2 )	初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2	}

Sn =

初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2 ――――――― 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2

初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2 ( 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2 + 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2 )　　ℓは 初項 公差 一般項 末項 和 a d ℓ n + - 1 2

問題 2.

等比数列

a： 初項 公比 a r n 、r： 初項 公比 a r n

a_n = 初項 公比 a r n 初項 公比 a r n ^n-1

	初項 公比 a r n
Sn =	初項 公比 a r n (1 - 初項 公比 a r n 　　　　) ――――――――――――――――――― 1 - 初項 公比 a r n		rが-1<r<1の時便利

	初項 公比 a r n
Sn =	初項 公比 a r n ( 初項 公比 a r n 　　　　 - 1) ―――――――――――――――――― 初項 公比 a r n - 1		rがr>1, r<-1のとき便利

問題 3.

さまざまな数列の和

n
Σ	c	= c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
k = 1

n	k	=	c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ( c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ――――――――――――― c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Σ
k = 1

n	k2	=	c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ( c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )( c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ――――――――――――――――――――――――― c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Σ
k = 1

n	k3	=	{	c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ( c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ―――――――――――――― c n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	}	2
Σ
k = 1

問題 4.

n	{	1 ――――――――――― k(k + 1)	}
Σ
k = 1

=

(

1 ――― 1

-

1 ―――― n 1 2 3 + -

)

+

(

1 ―――― n 1 2 3 + -

-

1 ―――― n 1 2 3 + -

)

+

(

1 ―――― n 1 2 3 + -

-

1 ――― 4

)

+ ・・・・

・・・ +

(

1 ――――――― n - n 1 2 3 + -

-

1 ――――――― n - n 1 2 3 + -

)

+

(

1 ――――――― n - n 1 2 3 + -

-

1 ―――――― n

)

+

(

1 ―――――― n

-

1 ――――――― n + n 1 2 3 + -

)

=

n 1 2 3 + - ―――― n 1 2 3 + -

-

n 1 2 3 + - ――――――― n + n 1 2 3 + -

=

n 1 2 3 + - ――――――― n + n 1 2 3 + -

問題 5.

n	{	1 ―――――――――― k(k + 2)	}
Σ
k = 1

=

1 ―――― n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

{

(

1 ――― 1

-

1 ――― 3

)

+

(

1 ――― 2

-

1 ――― 4

)

+

(

1 ―――― n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-

1 ――― 5

)

+

(

1 ――― 4

-

1 ――― 6

)

+

(

1 ――― 5

-

1 ―――― n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

)

+

(

1 ――― 6

-

1 ――― 8

)

+ ・・・・

・・・ +

(

1 ――――― n - 2

-

1 ――― n

)

+

(

1 ――――― n - 1

-

1 ――――― n + 1

)

+

(

1 ――― n

-

1 ――――― n + 2

)

}

=

1 ―――― n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(

1 ―――― n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

+

1 ―――― n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-

1 ――――――――― n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-

1 ――――――――― n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

)

=

1 ―――― n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ―――― n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ―――――――――――――――――― ( n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )( n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )

)

=	n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (n + n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )(n + n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) - 2( n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n + n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ――――――――――――――――――――――――――――― 2・2(n + 1)(n + 2)

=	n ( n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n+ 5) ―――――――――――――――――― n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (n + n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )(n + n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )

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結果: