漸化式

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問題 1.

an + 1 = 3an + 2・・・①、　a1 = 5 　を満たすanを求めなさい。




特性方程式c = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ・・・②を用意して、

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c - c = - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　　　 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c = - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　　c = - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


①式—②式をすると

an+1 - c = 3an + 2 - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 an - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (an - c)

より

an+1 - (- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 {an - (- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )}

an+1 + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (an + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )



bn = an + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 とおくと

bn+1 = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 bn

bnは等比数列である。



bn = b1・ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ^{n - 1} = (a1 + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )・ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ^{n - 1}

= ( 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )・ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ^{n - 1} = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ・ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ^{n - 1} = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ・ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⁿ

だからan + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ・ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⁿ

an = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ・ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⁿ - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

問題 2.

a_{n + 2} - 3a_{n + 1} = 4a_n、　a₁ = 1、　a₂ = 3を満たすa_nを求めなさい。

特性方程式t² - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 を解くと、

t² - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 0

(t - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )(t + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) = 0

t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 、- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

一般にt = α、βのとき

a_{n + 2} - αa_{n + 1} = β(a_{n + 1} - αa_n)が成り立つので

２パターンあてはめると、

a_{n + 2} - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a_{n + 1} = - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ・(a_{n + 1} - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a_n)・・・①

a_{n + 2} + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ・a_{n + 1} = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ・(a_{n + 1} + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ・a_n)・・・②

a_{n + 1} - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a_n = b_nとおくと

b_{n + 1} = - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ・b_nで

b_nは等比数列である。

b_n = b₁・(- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )^{n - 1} = (a₂ - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a₁)・(- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )^{n - 1}

=( 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ・ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )・(- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )^{n - 1}

= (- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )・(- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )^{n - 1} = (- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )ⁿ

a_{n + 1} - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a_n = (- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )ⁿ・・・①'

c_n = a_{n + 1} + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ・a_nとおくと

c_{n + 1} = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c_nで

c_nは等比数列である。

c_n = c₁・ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ^{n - 1} = (a₂ + a₁)・ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ^{n - 1}

= ( 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )・ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ^{n - 1}

= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ・ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ^{n - 1} = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⁿ

a_{n + 1} + a_n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⁿ・・・②'

②' - ①'をすると

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a_n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⁿ - (- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )ⁿ

an =	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n - (- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )n ―――――――――― 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

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結果: