群数列

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問題

第1群　第2群　　第3群　　　　　　　第4群
|　３　|　５，７　|９，１１，１３|　１５，１７，１９，２１　|
　1項　 2項　　　　3項　　　　　　　　 4 6 8 n + 1 n n – 1 2n + 1 2n - 1 項

　　　　　　　第n – 1群　　　　　第ｎ群
・・・・・|　　　　　　　　　　〇|〇　　　　　　　|
　　　　　　　　 4 6 8 n + 1 n n – 1 2n + 1 2n - 1 項　　　　 4 6 8 n + 1 n n – 1 2n + 1 2n - 1 項
　　　　　　　　　最後の項　最初の項

１． 第n – 1群最後の項までの項数を求める。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　n – 1　　( n + 1 n n – 1 ) n + 1 n n – 1
1 + 2 + 3 + 4 + …… + (n – 1) = Σk = ――――――――
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　k=1　　　 　　　2

２． 第n群最初の項の項数は、

　　　　( n + 1 n n – 1 1 2 3 4 5 ) n + 1 n n – 1 1 2 3 4 5 　　　　　　　　　 n + 1 n n – 1 1 2 3 4 5 ² – n + 1 n n – 1 1 2 3 4 5 + n + 1 n n – 1 1 2 3 4 5
　　　――――――――　+ n + 1 n n – 1 1 2 3 4 5 = ――――――――――――
　　　　　　　　2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2

３． 数列の一般項を求める。

3,5,7,…と並んでいるので、2・ 1 2 3 4 5 6 7 2n + 1 2n 2n - 1 n + 1 n n - 1 + 1, 2・ 1 2 3 4 5 6 7 2n + 1 2n 2n - 1 n + 1 n n - 1 + 1, 2・ 1 2 3 4 5 6 7 2n + 1 2n 2n - 1 n + 1 n n - 1 + 1
と各項の項数を用いて表せるので、

一般項a_n = 2・ 1 2 3 4 5 6 7 2n + 1 2n 2n - 1 n + 1 n n - 1 + 1 である。

４． 第n群最初の項を求める。

　 n 2n 3n 4n 5n 1 2 3 4 5 6 7 ² – n 2n 3n 4n 5n 1 2 3 4 5 6 7 + n 2n 3n 4n 5n 1 2 3 4 5 6 7
2・――――――――――― + n 2n 3n 4n 5n 1 2 3 4 5 6 7 =
　　　　　　　2

n 2n 3n 4n 5n 1 2 3 4 5 6 7 ² – n 2n 3n 4n 5n 1 2 3 4 5 6 7 + n 2n 3n 4n 5n 1 2 3 4 5 6 7 + n 2n 3n 4n 5n 1 2 3 4 5 6 7 = n 2n 3n 4n 5n 1 2 3 4 5 6 7 ² – n 2n 3n 4n 5n 1 2 3 4 5 6 7 + n 2n 3n 4n 5n 1 2 3 4 5 6 7

５． 第n群の総和を求める。

第n群は、最初の項を初項として、

n項の和である。

等差数列の初項をa、公差をdとすると、

a = n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 ² – n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 + n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 、d = n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 である。

よって、総和をSnとすると、

　　 　　1　　　　　　　　　　　　
Sn = ―― n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 { n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 + (n – 1) n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 } =
　　　 　2

　1
―― n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 { n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 (n² – n + 3) + n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 (n – 1)}
　2

= n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 ( n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 ² – n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 + n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 + n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 – n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 )

= n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 ( n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 ² + n a 2a 3a 4a 5a d 1 2 3 4 5 6 7 )

群数列は、ここまで解いておいてから、

設定された問題を解くと、すべてにこの情報が役立つ。

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結果: