格子点の個数

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問題

　　　 3x²
Y = ――とx軸、x = n で囲まれる格子点の個数を求めよ。
　　　 2

格子点とは、x座標、y座標ともに整数になる点を言う。
ここでは、境界の点も含む。

ただし、原点以外は、ｘ軸上の点は含まない。



A) n = 2m のとき、

i)　偶数番目の

直線 x = 2k (k = 1, 2, … 2k 6k 12k m ) 上での格子点の個数a_2kは、

　　3・( 2k 6k 12k m )²　　　 2k 6k 12k m ²
y = ――――― = ――― = 2k 6k 12k m ² より
　　 　　　2　　　　　　 2

1, 2, … 2k 6k 12k m ² より

a_2k = 2k 6k 12k m ² 個

ii)　奇数番目の

直線 x = 2k – 1 (k = 1, 2, … 1 4k 6k m ) 上での格子点の個数a_{2k – 1}は、

　　　3 (2k – 1)² 　　　3 ( 1 4k 6k m ² – 1 4k 6k m + 1) 　　　　　　　3
y = ―――――― = ―――――――― = 6k² – 6k + ――
　　　　　　2 　　　　　　　　　　　2 　　　　　　　　　　　　　　2

　　　　　　　　　　　　　　　1
= (6k² – 6k + 1 4k 6k m ) + ―― で
　　　　　　　　　　　　　　　2

1, 2, … 1 4k 6k m ² – 1 4k 6k m + 1 4k 6k m より


a_{2k – 1} = 1 4k 6k m ² – 1 4k 6k m + 1 4k 6k m 個

あと、 原点 格子点 中点 も１個とカウントする。

よって求める格子点の個数は、

　　　 m 2m 1 　 m 2m 1 　　　　　　　　　 m 2m 1 　　 m 2m 1
m 2m 1 + Σa_2k + Σa_{2k – 1} = m 2m 1 + Σ6k² + Σ(6k² – 6k + 1)
　　　　k=1 　　　k=1　　　　　　　　　　 k=1 　　k=1


　　　　　m(m+1)( m 2m 1 + m 2m 1 )　　　m(m+1)( m 2m 1 + m 2m 1 )　　　　m(m+1)
= 1 + 6・――――――――― + 6・――――――――― - 6・―――― + m
　　　　　　　　　　6　　　　　　　　　　　　　　　　6　　　　　　　 　　　　　2

= 1 + m 1 2 3 m(m+1)(2m+1) – m 1 2 3 m(m+1) + m

= m 1 2 3 m(m+1)(2m+1) – m 1 2 3 m(m+1) + (m + 1)

= ( m 1 2 3 + m 1 2 3 )(4m² + 2m – 3m + 1) = ( m 1 2 3 + m 1 2 3 )(4m² – m + 1)

　　　　　　　　　　　　　 n 1 2 4
{注：n = 2m より　m = ―― }
　　　　　　　　　　　　　 n 1 2 4

　　　 n　　　　　　　　 　 n 　　　　n
= ( ―― + 1 ){ n 1 2 4 ・(――)² – ―― + 1 }
　　　 2　　　　　　　　　　2　　　　 2

　　　n + 2　　　　　　　　 n 1 2 4
= ( ―――― )( n 1 2 4 ² – ―― + n 1 2 4 )
　　　　 2 　　　　　　　　　 n 1 2 4

B) n = 2m – 1 のとき、

i)　偶数番目の

直線 x = 2k (k = 1, 2, … 6k m+1 m m–1 ) 上での格子点の個数a_2kは、

a_2k = 6k m+1 m m–1 ² 個


ii)　奇数番目の

直線 x = 2k – 1 (k = 1, 2, … 6k m+1 m m–1 ) 上での格子点の個数a_{2k – 1}は、

a_{2k – 1} = 6k m+1 m m–1 ² – 6k m+1 m m–1 + 1 個

あと、 原点 格子点 中点 も１個とカウントする。

よって求める格子点の個数は、

　　 m+1 m m–1 1 　 m+1 m m–1 1 　　　　　m–1 　　　m
1 + Σa_2k + Σa_{2k – 1} = 1 + Σ6k² + Σ(6k² – 6k + 1)
　　k=1 　　　k=1 　　　　　　　k=1 　　　k=1

　　　　 ( m+1 m m–1 1 – m+1 m m–1 1 ) m {2(m-1)+1}　　　　m(m+1)(2m+1)　　　m(m+1)
= 1 + 6・―――――――――――― + 6・―――――― – 6・―――― + m
　　　　　　　　　　　　　6　　　　　　　　　　　　　　　　6　　　　　　　　　2

= 1 + (m–1) m (2m–1) + m(m+1)(2m+1) – 1 3 4 m(m+1) + m

= (m² – m)( 2m –1) + (m² + m)( 2m +1) – 3m² – 3m + m + 1

= 2m³ – 2m² – m² + m + 2m³ + 2m² + m² + m – 3m² – 3m + m + 1

= 1 3 4 m³ – 1 3 4 m² + 1 3 4

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 n 2n 3n 1 2 4 3 + n 2n 3n 1 2 4 3
{注：n = 2m – 1 より 2m = n + 1、　m = ――――― }
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 n 2n 3n 1 2 4 3

　　　　　　　 n + 1　　　　　　　　 n + 1
= n 2n 3n 1 2 4 3 ・ ( ――― )³ – n 2n 3n 1 2 4 3 ・(―――)² + 1
　　　　　　　　 2　　　　　　　　　　　2　　


　　(n + 1)³　　 3(n + 1)²
= ―――― – ――――― + 1
　　 n 2n 3n 1 2 4 3 　　　 　　 n 2n 3n 1 2 4 3 　　


　　　n³ + 3n² + 3n + 1　 　　　 3n² + 6n + 3
= ―――――――――― – ――――――― + 1
　　　　　　　　 2　　　 　　　 　　　　　　4　　



　　　2n³ + 6n² + 6n + 2 – 3n² – 6n – 3 + 4
= ―――――――――――――――――――
　　　　　 　　　　　　　　 4　　


　　　 n 2n 3n 1 2 4 3 ³ + n 2n 3n 1 2 4 3 ² + n 2n 3n 1 2 4 3
= ―――――――――――――
　　　　　　　　　 4　　

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結果: