等差数列演習

問題

初項３２，公差（－４）の等差数列は，

ａｎ＝ ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ ＋（ ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ －１）（－ ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ ）＝３２－４ｎ＋４＝－４ｎ＋３６

	１			１
Ｓｎ＝	——	ｎ	｛ ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ ×３２＋（ ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ －１）（－ ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ ）｝＝	——	ｎ（６４－４ｎ＋４）
	２			２

	１		－２ｎ２＋３４ｎ
＝	——	ｎ（－ ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ ｎ＋ ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ ）＝
	２

この数列の和Ｓｎが最大になるのは，

一般項ａｎ＝－４ｎ＋３６が傾き－４の右肩下がりの直線であるので

マイナスの値になるまでのプラスの項の和が最大ということになる．

－４ｎ＋３６ ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ ０とすると

４ｎ ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ ３６，ｎ ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ ９


よって
ｎ＝８またはｎ＝ ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ のとき，Ｓｎは最大になる．

ｎ＝ ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ のときＳ８＝－２× ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ ^２＋３４× ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ ＝－１２８＋２７２＝１４４

ｎ＝９のときＳ９＝－２× ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ ^２＋３４× ｎ ２ ３ ４ ６ ８ ９ ≦ ≧ ＝－１６２＋３０６＝１４４



ｎ＝９のときａｎが０だったので，ｎ＝８でもｎ＝９でもＳｎの値は等しくなる．

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