数学的帰納法

テストを開始するには [テスト開始] ボタンを押してください。

ｎ＝ ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ のとき，命題が成り立つことを証明しておいて，

次にｎ＝ ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ のとき，命題が成り立つと仮定する．
そして仮定したｎ＝ｋの時の条件を用いてｎ＝ｋ＋１の時も，命題が成り立つことを証明する．

まとめとして，ｋに１から順番にｎまで当てはめてあらゆる ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ の値に対して
命題が成り立つことを言葉で伝えて完了．



不等式の証明

ｎ≧１（ｎは整数）のとき，

ｎ（ｎ＋１）＜３^ｎ・・・㋐　の証明



（Ⅰ）ｎ＝１のとき， ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ ・（ ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ ＋１）＝２＜３^１＝ ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦

ｎ＝１のとき，㋐は成り立つ．



（Ⅱ）ｎ＝ｋのとき，ｋ（ｋ＋１）＜３^ｋが成り立つと仮定すると

ｎ＝ｋ＋１のとき，３^ｋ＋１＝３・３^ｋ＞３ ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ （ ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ ＋１）で


３ｋ（ｋ＋１）－（ｋ＋１）（ｋ＋２）＝（ｋ＋１）（３ｋ－ ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ － ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ ）

＝（ｋ＋１）（ ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ ｋ－ ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ ）≧０

｛注： ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ ｋ－ ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ ＝ ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ （ｋ－ ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ ）≧０より｝



よって，（ｋ＋１）（ｋ＋２） ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ ３ｋ（ｋ＋１） ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ ３^ｋ＋１

より，ｎ＝ｋ＋１のときも ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ は成り立つ．



よって（Ⅰ），（Ⅱ）より数学的帰納法により，すべての自然数 ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦ について

与えられた命題は成り立つ ㋐ ｎ ｋ １ ２ ３ // ＜ ≦

お疲れ様でした。「採点」ボタンを押して採点してください。

結果: