剰余の定理

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整式（せいしき）：ａ１ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ^ｎ＋ａ２ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ^ｎ−１＋・・・＋ａｎの構造をした式．


整式Ｐ(ｘ)＝(ｘ−ａ)Ｑ(ｘ)　のとき，

Ｐ( − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 )＝(ａ−ａ)Ｑ(ａ)＝０・Ｑ(ａ)＝ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 となる．

この性質からＰ(ｘ)が持っている因数を調べることができる．


この場合は，(ｘ− − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 )を因数に持っていることがわかる．

この性質を剰余の定理という．


一般に，Ｐ(ａ)＝ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 のとき，

整式Ｐ(ｘ)は(ｘ− − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 )を因数に持つ．


Ｐ(ｂ)＝０ならば，

整式Ｐ(ｘ)は(ｘ− − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 )を因数に持つ．



また，整式Ｐ(ｘ)を整式Ｒ(ｘ)で割ったとき，余りはＲ(ｘ)より次数が − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 つ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 い整式となる．

Ｒ(ｘ)が３次式なら余りは − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 次式

Ｒ(ｘ)が２次式なら余りは − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 次式

Ｒ(ｘ)が１次式なら余りは − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 数

となる．



Ｐ(ｘ)を(ｘ−２)で割ったとき，余りが１・・・�@で

(ｘ＋３)で割ったとき，余りが６・・・�Aである．


このとき，Ｐ(ｘ)を(ｘ−２) (ｘ＋３)で割ると

余りは割る整式(ｘ−２) (ｘ＋３)が − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 次式であり，それより１つ
次数が − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 いａｘ＋ｂと置ける．


Ｐ(ｘ)＝(ｘ−２) (ｘ＋３) − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 (ｘ)＋ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ｘ＋ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 と置くことができる．

ちなみにＱ(ｘ)は商を漠然と置いたものであり，ここではどういう式かは問わない．


条件�@よりＰ( − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 )＝ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 であり，

Ｐ( − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 )＝( − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 −２) ( − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ＋３) Ｑ( − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 )＋ａ・ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ＋ｂ

＝ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ・５・Ｑ(２)＋ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ａ＋ｂ

＝ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ａ＋ｂ＝ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ・・・�B


同様に，条件�AよりＰ(− − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 )＝ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 であり，

Ｐ(− − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 )＝(− − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 −２) (− − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ＋３) Ｑ(− − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 )＋ａ・(− − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 )＋ｂ

＝−５・ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ・Ｑ(−３) − − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ａ＋ｂ

＝− − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ａ＋ｂ＝ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ・・・�C


�B式，�C式より

		２ａ	＋ｂ	＝	１
−		−３ａ	＋ｂ	＝	６
		− ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ａ		＝	− − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定

ａ＝− − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定

�B式にこれを代入して

２・(− − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 )＋ｂ＝１

ｂ＝１＋ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ＝ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定

よって余りは

− ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ｘ＋ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定

＝ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 ｘ＋ − ０ １ ２ ３ ５ ６ ａ ｂ ｘ Ｑ 高 低 定 となる．

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