ｎタイプ漸化式

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a1 = 2, an+1 = 2an + 3n ・・・①の場合．

n→n+1を入れ替えた式②を用意する．そして②－①をする．

		a n-2 n-1 ｎ n+1 n+2		= 2a n-2 n-1 ｎ n+1 n+2		+ 3( n-2 n-1 ｎ n+1 n+2 )	・・・②
－		an+1		= 2an		+ 3n	・・・①
		a n-2 n-1 ｎ n+1 n+2 – a n-2 n-1 ｎ n+1 n+2		= a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 (an+1 – an)		+ a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

a_n+1 – a_n = b_n とおくと

b_n+1 = a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 b_n + a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 となり，基本の漸化式ができる．


特性方程式 c = a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 c + a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 を解くと

a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 = c


bn+1 a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 3 = 2(bn a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 3)


数列bn a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 3 は初項(b1 a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 3)，公比 a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 の等比数列である．


a1 = a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 , a2 = 2・ a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 + 3・ a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 = a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

b1 = a2 – a1 = a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 2 = a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 より


bn + 3 = (b1 + 3)・2^{n – 1} = ( a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 + 3)・2^{n – 1} = a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ・2^{n – 1}


a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n+1 – a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n = bn = a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ・2^{n – 1} a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 3 より


n≧2で

	n – 1
an = a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 +	Σ	bk
	k = 1

	n – 1	( a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ・2k – 1 a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 3)
= a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  +	Σ
	k = 1

		a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ( a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n–1 – 1)
= 2 +		—————————————		– 3( a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 1)
		a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 1

= 2 + a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ⁿ⁺² – 8 – 3n a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 3

= a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ⁿ⁺² – 3n a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 3


n = 1を代入して

8 – a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 3 = a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 よりa1と一致する．

よって

an = a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ⁿ⁺² – 3 a b n + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 3

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結果: