3ⁿタイプ漸化式

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a1 = 3, 　an+1 = 6an + 9・3ⁿ ・・・①の場合．



3ⁿ⁺¹で割ると

an+1		2・ + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ・an		3・ + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ・3n
——————	=	—————————	+	————————
+ – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n+1		+ – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n+1		+ – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n+1

an+1		an
————	= + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ・	—————	+ + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 と表せる．
3n+1		3n

an
————	= bn とおくとb1 = 1
3n

bn+1 = + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 bn + + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 となり，基本の漸化式ができる．

c = 2c + 3

+ – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 = c

bn+1 + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 3 = 2(bn + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 3)

bn + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 3 = (b1 + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 3)・2^{n – 1} = ( + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 + 3)・2^{n – 1}

= + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ・2^{n – 1}


bn = + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ・2^{n – 1} – + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

an = + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ⁿbn = + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ⁿ・2ⁿ⁺¹ – 3・ + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ⁿ

=2・ + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ⁿ – + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ⁿ⁺¹

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結果: