分数タイプ漸化式

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	1
a1 =	————
	3

	an
an+1 =	—————————	のとき，
	2an + 3

逆数にすると

1 an an+1 2an + 3		1 an an+1 2an + 3		3
—————————	=	—————————	=	——————	+ 2 となる．
1 an an+1 2an + 3		1 an an+1 2an + 3		1 an an+1 2an + 3

	1
bn =	————	とおくと
	an

b1 = + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

bn+1 = + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 bn + + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 　となり，基本の漸化式になる．


特性方程式 c = + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 c + + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 を解くと

– 2 = 2c

c = + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0


bn+1 + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 = + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 (bn + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1)



bn + 1 は初項 b1 + 1，公比 + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 の等比数列になる．



bn + 1 = (b1 + 1)・3^n–1 = + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ・3^n–1

bn = + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ・3^n–1 + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1

	1
an =	——————————————
	+ – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ・3n–1 + – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1

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結果: