不定積分（部分積分）

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部分積分の手順

∫ｘ sinｘ dx ＝

まず部分積分をするとき，積分する関数が２つの部分（ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ と sinｘ ）でできていることを確認する．

 ｘ  は 1 回微分すると ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ になり，消えるので，

反対のほうの ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ を積分する．

＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ cosｘ となり，

元の式を書くとき，積分した値をかっこをつけて微分した形で表す．

∫ｘ sinｘ dx＝∫ｘ ( ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ cosｘ)’dx


こうすると元の式と変わらないことになる．

∫ｘ ( ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ cosｘ)’dx＝ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ ∫ｘ cosｘ dx


そして ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ cosｘ をそのまま書いて

＝ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ ｘ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ


もう一つは，反対の ｘ のほうを微分するので
符号を反対にして∫( ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ )’ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ dx を書く．

＝ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ ｘ cosｘ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ ∫( ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ )’ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ  dx


これで微分すると

＝ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ ｘ cosｘ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ ∫ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ ・cosｘ dx


これで右側も関数が cos だけになったので積分できる．

＝ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ ｘ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ ＋ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ ＋ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ 　　（ ＋ － １ ｘ sinｘ cosｘ Ｃ は積分定数）

問題 1.

∫ｘ^２sinｘ dx を求めよ．

ｘ^２は 1 回微分しても ２ｘ となり残るが，もう 1 回微分すると
＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ になり関数でなくなるのでこの式は， ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ 回部分積分する．

∫ｘ^２sinｘ dx＝∫ｘ^２( ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ cosｘ)’dx


＝ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ ｘ^２cosｘ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ ∫(ｘ^２)’ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ dx


＝ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ ｘ^２cosｘ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ ∫ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ ｘ cosｘ dx


＝ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ ｘ^２cosｘ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ ∫ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ ｘ( ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ )’dx


＝ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ ｘ^２cosｘ＋ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ ｘ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ －∫( ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ )’ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ dx


＝ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ ｘ^２cosｘ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ ２ｘsinｘ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ ∫２sinｘ dx


＝－ｘ^２cosｘ＋２ｘ sinｘ＋２ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ ＋ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ

（ ＋ － １ ２ sinｘ cosｘ ２ｘ Ｃ は積分定数）

問題 2.

∫ｘ logｘ dx を積分せよ．

この式も２つの関数（ ＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ と logｘ ）からなるので
部分積分で求める．

今回は，ｘ は微分すると １ になるが，logｘ も微分すると

＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ
————	となり，ｘ と約分できて消えるので，
＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ

ｘ のほうを積分する．

	＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ	ｘ２)’logｘ dx
∫ｘ logｘ dx＝∫(	————
	＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ

	＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ	ｘ２ ＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ －∫	＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ	ｘ２( ＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ )’dx
＝	————		————
	＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ		＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ

	１	ｘ２ ＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ －∫	１	ｘ２・	＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ
＝	——		——		————	dx
	２		２		＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ

	１	ｘ２ logｘ ＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ ∫	１
＝	——		——	＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ dx
	２		２

	１	ｘ２ logｘ－	１		＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ	ｘ２＋ ＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ
＝	——		——	・	————
	２		２		＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ

	１	ｘ２ logｘ－	＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ	ｘ２＋ ＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ
＝	——		————
	２		＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ

（ ＋ － １ ２ ４ logｘ ｘ Ｃ は積分定数）

問題 3.

∫logｘ dx を求めよ．

この式は，一見，関数が一つに見えるが，

	－ ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ
１ と logｘ に見立ててみると logｘ は微分すると	————	になるので
	－ ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ

 １ を積分してできた ｘ と約分でき，log が消える．

それゆえに － ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ を積分した形をスタートとする．

∫logｘ dx＝∫( － ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ )’logｘ dx


＝ － ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ logｘ － ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ ∫ － ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ ( － ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ )’dx

	－ ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ
＝ｘ logｘ － ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ ∫ － ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ ・	————	dx
	－ ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ

＝ｘ logｘ － ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ ∫ － ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ dx


＝ － ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ logｘ－ － ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ ＋ － ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ

（ － ＋ １ ２ ｘ logｘ Ｃ は積分定数）


問２と問３は似ているようで全く違う．

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結果: