不定積分（置換積分１）

不定積分（置換積分１）の手順

∫４ｘ (ｘ^２＋１)^７ dx

ｘ^２＋１＝ ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ とおくと

置換積分用の微分をすると
（左辺は ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ で微分して ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ をつけ，
右辺は ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ で微分して ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ をつける．）

ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ ｘ ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ ＝ ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０

∫４ｘ (ｘ^２＋１)^７ dx

＝∫２ (ｘ^２＋１)^７・ ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ ｘ dx

＝∫２ ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ ^７ ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０

	ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０	ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ ７＋１＋Ｃ
＝	————————
	ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ ＋１

	１	( ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ ２＋１)８＋Ｃ
＝	————
	ｘ ｔ dx dt １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０

問題

∫sin^３ｘ dxを積分せよ．


sinの部分と sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ の部分にわける．

sin^２ｘ＝１－ sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ ^２ｘを利用して

与式＝∫(１－ sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ ^２ｘ) sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ dx


sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ ＝ ｔ とおくと

置換積分用の微分をして

sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ sinｘ sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ ＝ sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５


与式＝∫(１－ sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ ^２) sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ dx

＝∫(１－ sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ ^２)・( sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ １) sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５

＝∫( sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ ^２－１) dt

	1	sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ ３― sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ ＋Ｃ
＝	——————
	sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５

	１	sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ ３ｘ－ sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５ ｘ＋Ｃ
＝	——————
	sin cos sinｘ cosｘ ＋ － dx dt ｘ ｔ １ ２ ３ ４ ５

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