無限等比級数

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公式

無限等比級数

ａ≠ ＞ ＜ ∞ ａ ｒ ０ １ 収束 発散 のとき，

｜ｒ｜ ＞ ＜ ∞ ａ ｒ ０ １ 収束 発散 １のとき，

	＞ ＜ ∞ ａ ｒ ０ １ 収束 発散	ａｒｎ－１＝	＞ ＜ ∞ ａ ｒ ０ １ 収束 発散
収束して	Σ		————————————
	ｎ＝１		＞ ＜ ∞ ａ ｒ ０ １ 収束 発散 － ＞ ＜ ∞ ａ ｒ ０ １ 収束 発散

ａ＝ ＞ ＜ ∞ ａ ｒ ０ １ 収束 発散 のとき，

	＞ ＜ ∞ ａ ｒ ０ １ 収束 発散	ａｒｎ－１＝
収束して	Σ		＞ ＜ ∞ ａ ｒ ０ １ 収束 発散
	ｎ＝１

これは， ＞ ＜ ∞ ａ ｒ ０ １ 収束 発散 しか並ばないので当たり前といえば当然である．


｜ｒ｜ ＞ ＜ ∞ ａ ｒ ０ １ 収束 発散 １のとき，

＞ ＜ ∞ ａ ｒ ０ １ 収束 発散

問題 1.

	１
ａ＝３　　ｒ＝	———	のとき，
	２

｜ｒ｜ ＞ ＜ １ ２ ３ ６ １より

∞		１	ｎ－１		＞ ＜ １ ２ ３ ６
Σ	３・	(——)		＝	———————————
ｎ＝１		２					＞ ＜ １ ２ ３ ６
					１	－	————
							＞ ＜ １ ２ ３ ６

	＞ ＜ １ ２ ３ ６		＞ ＜ １ ２ ３ ６
＝	——————	＝ ＞ ＜ １ ２ ３ ６ ・	————	＝ ＞ ＜ １ ２ ３ ６
	＞ ＜ １ ２ ３ ６		＞ ＜ １ ２ ３ ６
	————
	＞ ＜ １ ２ ３ ６

＞ ＜ １ ２ ３ ６ に収束する．

問題 2.

	２
ａ＝ｘ，ｒ＝	——	のとき，
	３

｜ｒ｜ ＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３ １より


ｉ）ｘ≠ ＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３ のとき

∞		２	ｎ－１		＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３
Σ	ｘ・	(——)		＝	———————————
ｎ＝１		３					＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３
					１	－	—————
							＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３

	＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３
＝	——————	＝ ＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３ ＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３
	＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３
	————
	＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３

＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３ ＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３ に収束する．



ｉｉ）ｘ＝ ＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３ のとき

∞		２	ｎ－１
Σ	＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３ ・	(——)		＝ ＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３
ｎ＝１		３

＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３ に収束する．


よって極限値は，

ｘ≠ ＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３ のとき， ＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３ ＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３

ｘ＝ ＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３ のとき， ＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３

まとめられるので，
極限値は， ＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３ ＞ ＜ ０ ｘ ａ ｒ １ ２ ３

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結果: