内分・外分，方程式が表す図形

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問題 1.

線分の内分点，外分点
ベクトルと同じである．

点Ａ(α)，点Ｂ(β)を結ぶ線分の場合，

	ｍ ｎ ＋ － α β γ １ ２ ３ α＋ ｍ ｎ ＋ － α β γ １ ２ ３ β
内分：ｚ＝	——————————————————
	ｍ ｎ ＋ － α β γ １ ２ ３ ＋ ｍ ｎ ＋ － α β γ １ ２ ３

	ｍ ｎ ＋ － α β γ １ ２ ３ ｎα ｍ ｎ ＋ － α β γ １ ２ ３ ｍβ
外分：ｚ＝	——————————————————
	ｍ ｍ ｎ ＋ － α β γ １ ２ ３ ｎ

特に中点の場合，

	ｍ ｎ ＋ － α β γ １ ２ ３ ＋ ｍ ｎ ＋ － α β γ １ ２ ３
ｚ＝	————————————
	ｍ ｎ ＋ － α β γ １ ２ ３

また，3点Ａ(α)，Ｂ(β)，Ｃ(γ)を頂点とする
三角形ＡＢＣの重心をＧとすると

重心は，

	α＋ ｍ ｎ ＋ － α β γ １ ２ ３ ＋γ
ｚ＝	——————————————
	ｍ ｎ ＋ － α β γ １ ２ ３

問題 2.

方程式が表す図形


垂直二等分線

｜ｚ－ α β γ ｚ 半径 直径 距離 ｜＝｜ α β γ ｚ 半径 直径 距離 －β｜

これは，点Ａ(α)，点Ｂ(β)から点Ｐ(ｚ）までの
α β γ ｚ 半径 直径 距離 が等しいことを意味する．







円

｜ｚ－ α β γ ｚ 半径 直径 距離 ｜＝ｒ

点Ａ(α)から点Ｐ(ｚ）までの距離が常に一定のｒであることを
表す．つまり，ｒは α β γ ｚ 半径 直径 距離 を意味する．

問題 3.

軌跡問題




｜ｚ｜＝３，点ｚが半径３の円を表すとき，

	２＋ｉｚ
ｗ＝	——————
	ｚ

を満たす点ｗが表す図形は，

	２
ｗ＝	——	＋ ＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線
	ｚ

２
——	＝ｗ ＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線 ｉ
ｚ

逆数にして

＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線		１
————		————————
＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線		ｗ ＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線 ｉ

	＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線
ｚ＝	—————————
	ｗ ＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線 ｉ

これを｜ｚ｜＝３に代入すると

＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線
｜—————｜	＝ ＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線
ｗ ＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線 ｉ

逆数をとると，

ｗ ＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線 ｉ		１
｜—————｜	＝	————
＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線		＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線

	＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線
｜ｗ ＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線 ｉ｜＝	————
	＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線

	＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線
これは，点ｉを中心とする半径	————	の ＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線 を表す．
	＋ － ｉ ｗ ｚ １ ２ ３ 角 円 線

　　　　　　　　　　　　　

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結果: