いろいろな関数の導関数

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問題 1.

次の導関数の公式を完成させなさい。

(sin x)' = + - sin cos x 1 2 + - sin cos x 1 2 + - sin cos x 1 2

(cos x)' = + - sin cos x 1 2 + - sin cos x 1 2 + - sin cos x 1 2

(tan x)' =	+ - sin cos x 1 2	+ - sin cos x 1 2 ―――――――― + - sin cos x 1 2 　 + - sin cos x 1 2 　　　　　 + - sin cos x 1 2

問題 2.

		+ - x t 0 1 2 7 8 ∞ ――― + - x t 0 1 2 7 8 ∞
lim	( + - x t 0 1 2 7 8 ∞ + + - x t 0 1 2 7 8 ∞ )		= e		(e = + - x t 0 1 2 7 8 ∞ . + - x t 0 1 2 7 8 ∞ + - x t 0 1 2 7 8 ∞ + - x t 0 1 2 7 8 ∞ ・・・)
t→ + - x t 0 1 2 7 8 ∞

lim	( + - x t 0 1 2 7 8 ∞ +	+ - x t 0 1 2 7 8 ∞ ――― + - x t 0 1 2 7 8 ∞	)	+ - x t 0 1 2 7 8 ∞	= e
x→ + - x t 0 1 2 7 8 ∞

lim	(1 +	+ - x t 0 1 2 7 8 ∞ ――― + - x t 0 1 2 7 8 ∞	)	+ - x t 0 1 2 7 8 ∞	= e
x→ + - x t 0 1 2 7 8 ∞ + - x t 0 1 2 7 8 ∞

問題 3.

(ex)' =	a e x log	a e x log

(ax)' =	a e x log	a e x log	a e x log	a e x log	(a>0)

問題 4.

(log x)' =	1 a x log f(x) f'(x) ――― 1 a x log f(x) f'(x)	、	(log |x|)' =	1 a x log f(x) f'(x) ――― 1 a x log f(x) f'(x)

(loga x)' =	1 a x log f(x) f'(x) ――――――――― 1 a x log f(x) f'(x) 1 a x log f(x) f'(x) 1 a x log f(x) f'(x)	、	(loga |x|)' =	1 a x log f(x) f'(x) ――――――――― 1 a x log f(x) f'(x) 1 a x log f(x) f'(x) 1 a x log f(x) f'(x)

(log |f(x)|)' =	1 a x log f(x) f'(x) ――― 1 a x log f(x) f'(x)

問題 5.

x = f(t)、y = g(t)のとき、

dy ―― dx	=	dt dx dy f'(t) g'(t) ――― dt dx dy f'(t) g'(t)	=	dt dx dy f'(t) g'(t) ――― dt dx dy f'(t) g'(t)		(	dx ―― dt	≠0)
		―――――
		dt dx dy f'(t) g'(t) ――― dt dx dy f'(t) g'(t)

問題 6.

F(x, y) = 0の両辺をxで微分する。

例：x² + y² = 1のとき

+ - 0 2 x y y' + - 0 2 x y y' + + - 0 2 x y y' + - 0 2 x y y' ・ + - 0 2 x y y' = + - 0 2 x y y'

よってy≠0のとき	y' = + - 0 2 x y y'	+ - 0 2 x y y' ――― + - 0 2 x y y'

問題 7.

次の関数の導関数を求めよ。

（１）　f(x) = 3 sin x

　　　f'(x) = - 3 5 x sin cos - 3 5 x sin cos - 3 5 x sin cos

（２）　f(x) = cos 5x

　　　f'(x) = - 3 5 x sin cos - 3 5 x sin cos - 3 5 x sin cos - 3 5 x sin cos ・ ( - 3 5 x sin cos - 3 5 x sin cos )'

　　　　　　= - 3 5 x sin cos - 3 5 x sin cos - 3 5 x sin cos - 3 5 x sin cos ・ - 3 5 x sin cos

　　　　　　= - 3 5 x sin cos - 3 5 x sin cos - 3 5 x sin cos - 3 5 x sin cos - 3 5 x sin cos

（３）　f(x) = e ^x2

　　　f'(x) = e x 2 ^x2・( e x 2 ²)'

　　　　　　= e x 2 ^x2・ e x 2 e x 2

　　　　　　= e x 2 e x 2 e x 2 ^x2

（４）　f(x) = 3^x

　　　f'(x) = log 3 ^x・ log 3 log 3

（５）　f(x) = log₃ x³

f'(x) =	x log 1 3 ―――――――― x log 1 3 3 x log 1 3 x log 1 3	・(	x log 1 3 3	)'

=	1 ―――――――― x log 1 3 3 x log 1 3 x log 1 3	・ x log 1 3 x log 1 3 2 =	x log 1 3 ―――――――― x log 1 3 x log 1 3 x log 1 3

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結果: