二次曲線―楕円―

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問題 1.

次の楕円の頂点と焦点を求めよ。

（１）

x2 ―― 25

+

y2 ―― 9

= 1

x2 ―― a2	+	y2 ―― b2	= 1と照らし合わせて

a = + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 、b = + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 より

頂点は( + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , 0)、( + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , 0)、(0, + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )、(0, + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )

焦点はaとｂを使って公式が、c =

+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 - + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2

より

c =		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	=		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	=	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

焦点は、( + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , 0)、( + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , 0)


（２）　x² + 4y² = 1

これは、	x2 ―― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2	+	y2 ――――			= 1より
			(	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ―― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	)2

a = + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 、b =	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ―― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

頂点は( + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , 0)、( + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , 0)、(0,	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ―― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	)、(0, + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ―― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	)

焦点は公式が、c =		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 - + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2	より

c	=		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	-	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ―― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	=	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ―――	=	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ――― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
							+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

焦点は、(	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ――― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	, 0)、(-	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ――― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	, 0)

問題 2.

焦点が(2, 0)、(-2, 0)、焦点からの距離の和が8である
楕円の方程式を求めよ。

上の図で焦点から楕円上の点までの距離の和がａ＋ａ＝

+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9



ｂも上図の直角三角形の三平方の定理からａ，ｃを使って

b =		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 - + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2	より
b =		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 - + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2	=		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

=		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	=	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

よって楕円の方程式は


ａ^２＝４^２＝１６，ｂ^２＝１２より

x2 ―――― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

+

y2 ―――― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

= 1

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結果: