二次曲線―双曲線―

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問題 1.

次の双曲線の頂点と焦点を求めよ。

（１）

x2 ―― 16

-

y2 ―― 9

= 1

x2 ―― a2	-	y2 ―― b2	= 1と照らし合わせて

a = + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 、b = + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 より


頂点は( + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , 0)、( + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , 0)



ａとｂを用いて公式から

焦点は、c =

+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 + + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2

より

c =		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	=		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	=	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

焦点は、( + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , 0)、( + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , 0)





（２）　x² - 4y² = 1

これは、	x2 ―― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2	-	y2 ――――			= 1より
			(	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ―― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	)2

a = + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 、b =	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ―― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

　　　　　　　　　　　　　　　　　　


頂点は( + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , 0)、( + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , 0)


ａとｂを用いて公式から　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

焦点は、c =		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 + + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2	より

c	=		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	+	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ―― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	=	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ―――	=	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ――― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
							+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

焦点は、(	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ――― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	, 0)、(-	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ――― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	, 0)

問題 2.

焦点が(5, 0)、(-5, 0)、焦点からの距離の差が8である
双曲線の方程式を求めよ。

上の図より焦点からの距離の差はa＋a＝

+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　


+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


上の図の直角三角形から三平方の定理を用いて

b =		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 - + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2	より
b =		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 - + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2	=		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

=		+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	=	+ - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

よって双曲線の方程式は

x2 ―――― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-

y2 ――― + - a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

= 1

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結果: